クラス40人の中に同じ誕生日の人がいる確率は何％か？いる方、いない方どちらに賭ける？

クラスに同じ誕生日の人がいる割合はどれぐらい？？

ある学校の、あるクラス。

このクラス、40人の中に

同じ誕生日の人がいると思う人はYes

いないと思う人はNo

に賭けてください

と言われたら、どちらに賭けますか？？

要はどちらの可能性が高そうかということ。

１年間は３６５日間あって、

クラス４０人の誕生日はそのうちのどれか１日ってことか・・

そうすると・・？

さてさて、いかがでしょうか？

何％の確率で、同じ誕生日の人がいるんでしょうか。

これが５０％以上ならYesに賭けた方が良いでしょうし、

５０％以下ならNoに賭けた方が良いかなと。。

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クラス４０人の中に同じ誕生日の人がいる確率は何％か？

いきなり計算方法から。

同じ誕生日の人が１組でもいる確率というのは

１から（クラス全員の誕生日が違う場合の確率）を引けば出るはずですよね。

では（クラス全員の誕生日が違う場合の確率）を４０人で考えるのはちょっとややこしそうなので、とりあえず３人で考えてみたいと思います。

２人目の誕生日が１人目の誕生日と違う確率は　３６４／３６５　です。

１人目の誕生日だけをのぞいた１年間の日数分ということですよね。

３人目の誕生日が１人目とも２人目とも違う確率は　３６３／３６５　になります。

（２人目の誕生日が１人目とは違う確率）　Ｘ　（３人目の誕生日が１人目・２人目とは違う確率）

＝３人の誕生日がバラバラである確率

３６４　　　３６３

───　Ｘ　───　＝

３６５　　　３６５

０．９９７３…　✕　０．９９４５…　＝　０．９９１８…

ということで、約９９．１８％です。

なので、これを１から引いた

１　ー　０．９９１８　＝　０．００８２

ということで、

３人の中に同じ誕生日の人がいる確率は

約０．８２％です。

まあ・・そんなもんでしょう。

ではこれを、クラス４０人でやるとどうなるか・・

40人の誕生日がバラバラである確率は・・

３６４　３６３　・・・　３２６

───Ｘ───Ｘ・・・Ｘ───

３６５　３６５　・・・　３６５

＝

0.997260‥×0.994520‥×・・・×0.893150

＝0.10876819

→約11%

ということは、この数字を100%から引くと

40人の場合の、誰かと誰かの誕生日が同じ確率になるわけで・・

100％ー11％＝８９％

つまり、

クラス４０人の中に同じ誕生日の人がいる確率はというと

なんと８９％にもなるんですね〜〜〜これはちょっとびっくり。

ちなみにこの数字、もう少し人数を増やしていくと・・

全員誕生日が違う確率

誰かと誰かが同じ誕生日である確率

■45人

6％　94％

■50人

3％　97％

■60人

0.6％　99.4％

■70人

0.08％　99.92％

これをみると、もう45人ぐらいいたらほぼ1組は同じ誕生日の人がいるような感じですね。なんだか不思議です。1学年では無理な可能性もありますが、学校単位でみたらほぼ確実に同じ誕生日の組み合わせがいるってことになりますね。（365人以上いれば、ほぼ100％の数値になるようです）

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クラス４０人の中に自分と同じ誕生日の人がいる確率は？

上の話と似たような話で勘違いしてしまいがちなのが、「自分と同じ誕生日の人がクラス４０人の中にいる確率」です。これは上の計算とは異なります。

上の計算はあくまで「クラス４０人の中に同じ誕生日の人がいる確率」であり、特定の日が定まっていません。何月何日でもいいから、同じ誕生日の人がいる場合の確率です。ですが、「自分と同じ誕生日の人がクラス４０人の中にいる確率」となると、特定の日になるので、確率は大きく変わります。

その場合の確率はというと。。

これは、４０人クラスなら、「自分以外の３９人の誕生日が自分と違う場合の確率」を１００％から引けば出るはずです。

その計算式は

自分以外の３９人の誕生日が自分と違う場合の確率

３６４

───　を39個かける

３６５

＝0.896…‥

約90％

これを100％から引くと

約１０％です。

つまり、クラス４０人の中に自分と同じ誕生日の人がいる確率は、１０％になります。誰かと誰かの誕生日が同じという場合とは大きく数字が違いますよね(^_^;)

ただ、それでも、１０％ってそこそこ高い数字のような気もするから不思議です。

ちなみにこの「自分と同じ誕生日の人がいる確率」の方は、人数が増えても爆発的に確率が上がるものではないようです。

100人の場合で

全員自分と誕生日が違う確率

自分と誰かが同じ誕生日である確率

76％　24％

ということで、100人いても自分と同じ誕生日の人がいる確率は24％です。

うーん・・確率って不思議ですね・・